Законы теплового излучения Фотоэффект Квантовый гармонический осциллятор Операторы энергий Ядерная  модель атома Спин  электрона Квантовые  генераторы Бозоны  и фермионы Зонная  теория твёрдых тел Электропроводимость  металлов


Курс лекций по физике

Электронный  газ в металлах

Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решётки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны. Эти электроны проводимости, обеспечивающие электропроводность металлов, в первом приближении можно рассматривать как идеальный газ свободных электронов, для которых металлический образец является потенциальной ямой.

В случае Т = 0 электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.

Согласно принципу Паули, на

каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов

Если число электронов в металле равно N, то при  Т = 0 будут заполнены первые N/2 уровней с энергией E . Число заполненных и свободных энергетических уровней очень велико, и они расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать квазинепрерывным.

 Найдём функцию распределения электронов проводимости по энергиям. Атомная физика Лекции и задачи по физике

 Число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от Е до  равно

, где

  - плотность квантовых состояний электронов в 

  металле . т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал.

 Полное число свободных электронов в металле

N =  = V

 Концентрация электронов п в металле

п =  = .

 Функция

F(E) =  =

называется функцией распределения свободных электронов  по энергиям.

 С помощью функции распределения F(E) можно найти среднее значение любой физической величины Q, зависящей от Е

 

При Т = 0 функция F(E) имеет вид

 

  F(E) =

Распределение электронов по энергиям описывается выражением

 dn =  

Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой F(E) численно равна концентрации  п свободных электронов в металле.

 Верхний предел интегрирования для вычисления  п при Т = 0 нужно брать равным EF(0). Тогда интегрируя, получаем

п =  .

15 – 6

 Отсюда находим EF(0):

EF(0) =

 Расчёты показывают, что энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон–вольт.

 Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми ТF, которая определяется следующим образом:

kTF = EF(0) .

 Ниже представлено схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при Т > 0

 Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка kT, оказываются свободными. В области энергий шириной порядка kT вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные электронами. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

 Зависимость F(E) при Т> 0 имеет участки S1 и S2 , площади которых одинаковы и определяют число электронов в единице объёма металла, перешедших при нагреве образца с заполненных уровней  (S1) на незаполненные (S2).

Интеграл п = позволяет получить приближённое значение EF при EF >> kT.

.

Условие EF >> kT выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твёрдом виде, а при температуре близкой к комнатной .

Вырожденный электронный газ

Вырожденный электронный газ – это газ, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа вследствие неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике.

Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами < a > становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы λБ , т.е.  .

Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из фермионов, температурой вырождения является температура Ферми ТF, которая тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация. Так как масса электрона очень мала (те = 9,1.10 – 30 кг ), а концентрация электронов в металлах достаточно велика ( 1028 … 1029 м – 3 ) то  TF ~ 104 K.

Cледовательно, электронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остаётся в твёрдом состоянии.


Собственная и примесная  проводимость полупроводников