Законы теплового излучения Фотоэффект Квантовый гармонический осциллятор Операторы энергий Ядерная  модель атома Спин  электрона Квантовые  генераторы Бозоны  и фермионы Зонная  теория твёрдых тел Электропроводимость  металлов


Курс лекций по физике

Распределение  Ферми–Дирака

Квантовая статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов – ферми–газ.

Распределение Ферми–Дирака – закон , выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i–ом состоянии с энергией Ei при температуре Т равно:

 .

Из этой формулы следует, что <Ni>Ф-Д не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули

Химический потенциал для фермионов может быть только положительным ( μ > 0 ). Иначе при  числа заполнения стали бы равными нулю, чего естественно быть не может. Задача. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода <λ> = 2,5 см при температуре 68°С? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3·10 –10 м.

Для случая малых чисел заполнения ( <Ni>Ф-Д << 1 ) получаем

 и 

Тогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем

 , где А = ехр

Видим, что распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения (разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределение Максвелла–Больцмана.

I – статистическое распределение

  Максвелла–Больцмана;

II – статистическое распределение

 Ферми–Дирака.

15-2

Можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.

Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остаётся неизменной.

Кардинальное различие между статистическими распределениями Максвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаются  при  . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них <Ni> тем больше, чем меньше их энергия Е. Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули.

Химический потенциал μ имеет размерность энергии и в случае фермионов его называют энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают EF. При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид

<Ni>Ф-Д =  .

Энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры Т.

Подставляя в это выражение Т = 0 (говоря о Т = 0, подразумевают, что температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е. ) получаем

<Ni>Ф-Д = 1 при E < EF(0)

<Ni>Ф-Д = 0 при  E > EF(0)

Здесь ЕF(0) – значение энергии Ферми при Т = 0.

Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с энергиями E < EF(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > EF(0) – свободными.

Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при  энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией , которой могут обладать фермионы.

Ниже приведены графики зависимости  <Ni> от Е при Т = 0 (слева) и при Т (справа)

При Т = 0 распределение Ферми–Дирака представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = ЕF(0).

При температуре отличной от нуля резкий скачок <Ni>Ф-Д от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина которой порядка kT

При любой температуре отличной от нуля  при E = EF.

Наряду с энергией Ферми EF  при анализе поведения ферми-частиц вводится также импульс Ферми pF и скорость  Ферми υF , определяемые соотношениями

 и  .

Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица с массой то при температуре Т = 0.


Собственная и примесная  проводимость полупроводников