Законы теплового излучения Фотоэффект Квантовый гармонический осциллятор Операторы энергий Ядерная  модель атома Спин  электрона Квантовые  генераторы Бозоны  и фермионы Зонная  теория твёрдых тел Электропроводимость  металлов


Курс лекций по физике

Квантовые  статистические распределения

 Особенности поведения частиц, связанные с неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике, проявляются и в статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц. Это приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой механике отличаются от статистических распределений, известных из классической физики. Кроме того, статистические свойства бозонов и фермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц также оказываются различными.

 В классической физике распределение частиц по энергиям описывается хорошо известными из курса молекулярной физики распределением Максвелла

 и

распределением Больцмана

 , где

АМ и АБ – нормировочные константы;

К  и U – кинетическая и потенциальная энергия частиц.

 В классической физике при выводе распределений считается, что одинаковые частицы принципиально различимы. Практические занятия являются одной из важнейших компонент учебного процесса по физике. Они способствуют приобщению студентов к самостоятельной работе, учат анализировать изучаемые физические явления, использовать на практике полученные теоретические знания. Четырехпроводная звезда В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника.

 Проиллюстрируем различие в распределении классических и квантовых частиц на следующем примере. Пусть нужно распределить две частицы по трём состояниям (ячейкам). Классические частицы будем отмечать номерами 1 и 2 , а квантовые в силу тождественности одинаковыми кружками.

Фермионы в соответствии с принципом Паули могут находиться в каждой ячейке только поодиночке. Для бозонов никаких ограничений на распределение их по ячейкам не накладывается.

Для классических частиц число возможных распределений равно девяти (вероятность каждого распределения – 1/9). Для бозе–частиц получается шесть распределений (вероятность – 1/6). Для ферми–частиц реализуется только три распределения с вероятностью выпадения каждого из них, равной 1/3.

Распределение Бозе – Эйнштейна

Идеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовой статистикой Бозе –Эйнштейна.

Распределение  Бозе–Эйнштейна – закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в бозе–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i - ом состоянии с энергией Еi при температуре системы Т равно

Б-Э =  , где

k – постоянная Больцмана,

T – термодинамическая температура,

μ – химический потенциал – термодинамическая функция состояния, определяющая изменение внутренней энергии ( и, вообще говоря, других термодинамических потенциалов) системы при изменении числа частиц в системе, при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объём, и т.д.), фиксированы.

Одним из условий термодинамического равновесия системы является равенство химического потенциала для всех частей системы.

Для систем бозонов с постоянным числом частиц химический потенциал может принимать только отрицательные значения ( μ < 0 ).

Величину  называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией Еi ( далее будем для краткости писать просто Е ).

Из анализа распределения Б – Э следует, что число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра   может оказаться очень большим, а при Е = 0 в системе бозонов может происходить бозе – конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

Рассмотрим случай малых чисел заполнения ( будем считать

<< 1 ). Это условие выполняется при >> 1 или при >> 1 . Тогда можно записать

 , где А =  .

Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного газа бозонов распределения  Б – Э переходит в классическое распределение Максвелла – Больцмана.

 <N> 

I – статистическое распределение Максвелла – Больцмана;

II–статистическое распределение Бозе – Эйнштейна

Газ, свойства которого в силу тождественности частиц в квантовой механике отличаются от свойств классического идеального газа, называется вырожденным газом.

Газ бозонов является вырожденным. Только в случае, когда << 1 , вырождение снимается и разреженный бозе–газ ведёт себя подобно классическому газу.

Обычные газы, атомы которых являются бозонами, при нормальных температурах и давлениях не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение для них наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. тогда, когда эти газы перестают быть идеальными.

С помощью распределения Бозе–Эйнштейна описываются свойства теплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физические явления. 

Для систем бозонов с переменным числом частиц химический потенциал равен нулю ( μ = 0 ). Распределение Бозе–Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид

 .

Пример: пользуясь распределением Б – Э можно получить формулу

 Планка для равновесного излучения.

Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки

которой нагреты до комнатной температуры Т . Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов, т.е. систему бозонов с переменным числом частиц, распределение по энергиям которых с учётом того, что  описывается выражением

 Плотность квантовых состояний g(E), т.е. число состояний приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов описывается выражением

 , где

V – объём полости; с – скорость света в вакууме;  Е/с – импульс фотонов

(по аналогии с плотностью квантовых состояний  для нерелятивистских электронов с импульсом  )

 Энергия излучения в узком энергетическом интервале от Е до (Е+dE) складывается из энергий отдельных фотонов и равна

<Nф>.gф(E).E.dE

В частотном интервале, соответствующему данному энергетическому интервалу

от   до 

можно получить выражение для той же самой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения иω,Т , представляющей собой энергию излучения в одиночном частотном интервале, отнесённую к единице объёма

uω,T..V .dω = <Nф>gф(E)E.dE .

Тогда, заменив  dE на  и Е на  получим

 .


Собственная и примесная  проводимость полупроводников