Законы теплового излучения Фотоэффект Квантовый гармонический осциллятор Операторы энергий Ядерная  модель атома Спин  электрона Квантовые  генераторы Бозоны  и фермионы Зонная  теория твёрдых тел Электропроводимость  металлов


Курс лекций по физике

Операторы физических величин

 Ранее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием Ψ-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ). Волновая функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия, момент импульса и др.

 Таким образом Ψ-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все её динамические характеристики.

  Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновую функцию.

  Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на х , или на какую-либо функцию f(x), дифференцирование по х т.е.  ;  , операторы набла -  , лапласиан -  и т.д.

 В квантовой механике операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например , , а его действие на некоторую функцию f( x ) записывают как  .

Лабораторная работа 115 Определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха Цель работы: определить среднюю длину свободного пробега и эффективный диаметр молекул воздуха по его коэффициенту внутреннего трения, плотности и средней квадратичной скорости молекул. 

 Некоторые свойства операторов:

 1). Операторы можно складывать:   . Действие такого суммарного оператора на любую функцию f( x) даёт результат

 2). Под произведением операторов  понимают оператор, результат действия которого на любую функцию f(x) равен

 .

Т.е. функция f(x) сначала подвергается действию оператора , а затем полученный результат – действию оператора  .

 Следует иметь ввиду, что не всегда  . Если такое равенство соблюдается, то это значит, что операторы  и  коммутируют друг с другом (коммутирующие операторы ).

  Пример некоммутирующих операторов – это х и :

 , а   .

7 - 2

 3). Оператор  называют линейным, если для любых двух функций f1 и f2 и любых постоянных а1 и а2 выполняется соотношение

.

 С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

 4). Если  то .

Представление физических величин операторами

в квантовой механике

 Второй постулат квантовой механики - каждой физической величине соответствует определённый оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

Оператор координаты

 ;  ;  .

.

Оператор импульса

 ;  ; ;

.

 3. Оператор квадрата импульса

4. Оператор момента импульса

 =

Оператор квадрата момента импульса

 При решении задач часто бывает удобно записывать   в cферической

 системе координат ( r, θ, φ )

 , где

 - угловая часть оператора Лапласа в 

 сферической системе координат


Собственная и примесная  проводимость полупроводников