Законы теплового излучения Фотоэффект Квантовый гармонический осциллятор Операторы энергий Ядерная  модель атома Спин  электрона Квантовые  генераторы Бозоны  и фермионы Зонная  теория твёрдых тел Электропроводимость  металлов


Курс лекций по физике

  Плотность вероятности нахождения частицы

 в основном состоянии:

 ,

в первом возбуждённом состоянии:

 .

 Вероятность нахождения частицы в области x1 < x < x2 , где x2 < a

в основном состоянии:

Закон сохранения заряда. Полученное уравнение непрерывности тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной. Закон сохранения заряда: Всякому изменению электрического заряда (q) внутри объема V, ограниченному поверхностью S, соответствует электрический ток, втекающий или вытекающий из этого объема

 ,

в первом возбуждённом состоянии:

 .

 Двумерная потенциальная яма

 Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Где Ώ =  - прямоугольная область на плоскости (х,у).

 Вне потенциальной ямы .

 Поскольку движение частицы в яме вдоль осей ох  и оу происходит независимо, то

 ,

а уравнение Шрёдингера имеет вид

 или

5 - 5

 Разделив левую и правую часть на   получаем

 Поскольку в правой части уравнения стоит постоянная величина, то и слева оба слагаемых должны быть постоянными величинами, и представив энергию Е в виде двух слагаемых Е = Е1 + Е2 можно разделить уравнение Шрёдингера для двумерной задачи на два одномерных уравнения:

 и  ,

решения которых такие же как и для одномерного случая:

 и  , где n1; n2 = 1, 2, 3, …

 В результате нормированная волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками:

 . а энергия  .

 Если потенциальная яма квадратная  ( а1 = а2 = а) то

 , где n1; n2 = 1, 2, 3, …

 Видно, что одному и тому же энергетическому уровню Еn1,n2 , определяемому квантовыми числами n1 и  n2 при n1  n2 соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями Ψn1,n2 и Ψn2,n1.

 Энергетический уровень, которому соответствует несколько состояний частицы называется вырожденным энергетическим уровнем.

 Энергетический уровень, которому соответствует только одно состояние частицы, называется невырожденным. Для квадратной потенциальной ямы невырожденными являются энергетические уровни, для которых n1 = n2 .

  Трёхмерная потенциальная яма (потенциальный ящик)

 Здесь G = - внутренняя область прямоугольного параллелепипеда.

 Вне ящика  , а внутри  .

 Используя тот же метод, что и для двумерной ямы получаем

;

 , где

n1, n2, n3 = 1, 2, 3, … - квантовые числа.

  В кубическом потенциальном ящике ( а1 = а2 = а3 = а ) получаем

 .

 Энергетические уровни в кубической потенциальной яме, для которых n1 = n2 = n3 , являются невырожденными, все остальные уровни вырождены.

 Число вырожденных состояний определённого энергетического уровня называется кратностью вырождения уровня. Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассматривается в задаче на семинарском занятии.

  Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма для основного состояния в кубической яме:

 .

 Вероятность нахождения частицы в основном состоянии в некоторой области  , где x2, y2, z2 < a

.

 Cферически-симметричная потенциальная яма радиусом  а

U( r ) = 0 при r < a и U( r ) =  при r > a .


Уравнение Шрёдингера для области r < a :

 В сферически-симметричной яме Ψ-функция не зависит от угловых координат θ и φ и можно использовать только радиальную составляющую оператора Лапласа

 , т.е.

5 - 8

 или  , где 

 Для решения этого уравнения используют подстановку  . Тогда

 После подстановки получаем

 Решение этого уравнения имеет вид

  

 Так как Ψ( r )  при r = 0 то получаем φ0 = 0 .

 Используя условие непрерывности Ψ –функции, имеем

   , где n = 1, 2, 3, …

 ( c учётом того, что  ) .

 

 Коэффициент А находим из условия нормировки: 

 

  

 

 Таким образом

 .

 Плотность вероятности (вероятность нахождения частицы в шаровом слое единичной толщины) в основном состоянии:

 .


Собственная и примесная  проводимость полупроводников