Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Интегрирование по частям

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Пусть . Тогда , так что интеграл переписывается в виде Чтобы вычислить новый интеграл, сделаем замену . В этом случае . В результате последний интеграл становится равным Отсюда находим искомый интеграл:

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем интегрирование по частям: . Полагаем . Тогда и интеграл записывается в виде Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь . Следовательно, . Для первоначального интеграла получаем следующее уравнение: Решая это уравнение относительно неизвестного интеграла, находим Пример Решить методом Крамера систему уравнений

Пример

Свойство инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если где то где – любая дифференцируемая функция.

Так, например, если , то где – функция от

Геометрические приложения двойных интегралов