Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда Следовательно,

Пример Проинтегрировать .

Решение. В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда . Получаем

  Пример.

 

.

  Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

 

Итого =

=


Геометрические приложения двойных интегралов