Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Интегральный признак Коши

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл: Интегрируем по частям: Получаем Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:

Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится. Решить систему уравнений методом Гаусса

Найти предел .

;

.

 

  Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. .

Пример

При интегрировании использовали формулы и положив

Геометрические приложения двойных интегралов