Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Несобственные интегралы

Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Решение. Подынтегральное выражение имеет разрыв в точке x = 0, поэтому мы запишем интеграл в виде Как видно из полученного выражения, возможны 2 случая:

Пример Найти площадь под кривой y = ln x в интервале от x = 0 до x = 1. Теоремы о пределах функций Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Решение. Данная область схематически изображена на рисунке 1. Для нахождения площади этой бесконечной области нужно вычислить несобственный интеграл Интегрируем по частям. Пусть u = ln x, dv = dx. Тогда . Следовательно, Для вычисления полученного предела используем правило Лопиталя. Таким образом, несобственный интеграл равен Из рисунка видно, что площадь фигуры равна .
Рис.1Рис.2

Пример Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму двух простейших дробей

Заметим, что квадратный трехчлен имеет комплексные корни, а в числителе простейшей дроби, ему соответствующей, стоит многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами.

Найдем

Решая систему, получим .

Тогда

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

.

Имеем:

положим тогда

Окончательно .

Геометрические приложения двойных интегралов