Геометрические приложения поверхностных интегралов
Пример С помощью формулы Грина найти интеграл
Решение. В соответствии с формулой Грина. Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).
находим
Следовательно,
Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл
![]()
Пример Вычислить интеграл
Решение. В соответствии с формулой Грина запишемс использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).
Следовательно,
Найдем уравнения сторон квадрата:
Далее удобно ввести новые переменные. Пусть
. Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде
Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных.
Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно
Тогда
и интеграл имеет значение
Свойства поверхностного интеграла первого рода Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла I рода, т.е. .
Рис.5 Рис.6 Метод интегрирования по частям
Пример
=
=
![]()
![]()
Геометрические приложения двойных интегралов |