Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).

Решение. В соответствии с формулой Грина находим Следовательно, Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл

Пример Вычислить интеграл с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).

Решение. В соответствии с формулой Грина запишем Следовательно, Найдем уравнения сторон квадрата: Далее удобно ввести новые переменные. Пусть . Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных. Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно Тогда и интеграл имеет значение Свойства поверхностного интеграла первого рода Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла I рода, т.е. .

Рис.5		Рис.6

Метод интегрирования по частям

Пример

=

=