Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Замена переменных в тройных интегралах Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью . Интегралы и их приложения Основные определения и формулы. Функция F(x) является первообразной функции f(x), если на некотором множестве X выполняется равенство F¢(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается .

Решение. Исследуем сначала пересечение двух заданных поверхностей. Приравнивая координаты z, получаем уравнение Пусть x2 + y2 = t2. Тогда В контексте данной задачи смысл имеет лишь корень t = 1, то есть Итак, обе поверхности пересекаются при z = 1, и сечение представляет собой круг (рисунок 10)
Рис.10Рис.11

Область интегрирования сверху ограничена параболоидом , а снизу − конусом (рисунок 11). Для вычисления объема области перейдем к цилиндрическим координатам: В результате находим

Задача. Найти , где - граница тела.

Решение. Это тело представляет собой конус. состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой всюду, кроме точки и и .

Нарушение этой формулы в единственной точке не повлияет на результат, поэтому , где - проекция на плоскость , т.е. - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: ( - якобиан преобразования) .

Основание задано уравнением , поэтому и (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

 

Геометрические приложения криволинейных интегралов