Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

Решение. Параметрические уравнения тора имеют вид (рисунок 2): Убедимся, что эти уравнения правильно описывают окружность в сечении тора. Действительно, поскольку , то после подстановки получаем Таким образом, поверхность тора описывается следующим вектором: Для вычисления площади поверхности воспользуемся формулой Входящее в эту формулу векторное произведение имеет вид Тогда модуль векторного произведения равен Отсюда находим площадь поверхности тора:

Интегрирование рациональных дробей.

 

 

 

  Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

  6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2  2x2 + 3

 9x3 + 8x2 – 76x - 7

  9x3 – 12x2 – 51x +18

  20x2 – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

 3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3

  3x3 – 9x2  3x2 + 5x - 2

  5x2 – 17x

  5x2 – 15x

  - 2x + 6

  -2x + 6

  0

Таким образом  3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

 

Геометрические приложения двойных интегралов