Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Площадь поверхности Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора то площадь поверхности будет равна где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность. Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy. Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.

  Разложение функции cosx имеет вид:

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

 

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

 

Теперь представим наш интеграл в виде:

 

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).


Геометрические приложения двойных интегралов