Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Вычислить длину параболы в интервале .

Решение. Применяя формулу находим, что Для вычисления полученного интеграла сделаем замену . Следовательно, . При x = 0 получаем t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна Сделаем еще одну замену. Положим . Если t = 0, то z = 0. Если , то В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение В результате длина кривой равна Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей. Следовательно, Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты Таким образом, Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши

Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.

Геометрические приложения двойных интегралов