Замена переменной в определенном интеграле Определение двойного интеграла Определение тройного интегралаПроизводная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области


Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти длину кривой при условии .

Решение. Запишем функцию в виде или . Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой (рисунок 3). Длина кривой равна
Рис.3Рис.4

Пример Вычислить длину астроиды .

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение (неявный вид), которому удовлетворяют координаты любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

 y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

Геометрические приложения двойных интегралов