Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Решение. Данное тело показано на рисунке 6.

Рис.6

Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен

Пример Описать тело, объем которого определяется интегралом .

Решение.

Рис.7		Рис.8

Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями Ox, Oy и прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности . Объем тела равен

Пример . Вычислить .

Преобразуем подынтегральное выражение

.

Тогда

При вычислении использованы формулы