Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Замена переменных в тройных интегралах Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Вычислить объем эллипсоида

Решение. Объем эллипсоида удобно вычислить используя обобщенные сферические координаты. Пусть Поскольку модуль якобиана при трансформации декартовых координат в обобщенные сферические координаты равен то, следовательно, Объем эллипсоида выражается через тройной интеграл: В силу симметрии эллипсоида, мы найдем объем 1/8 его части, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. При этом обобщенные сферические координаты будут изменяться в пределах: Итак, объем эллипсоида равен

Найти предел .

 

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

Геометрические приложения криволинейных интегралов