Двойные интегралы в произвольной области
Пример Вычислить интеграл
Решение. Область R показана выше на рисунке 8. Очевидно, уравнение стороны треугольника OC имеет вид y = x, а уравнение стороны BC равно y = 1. Рассматривая R как область типа I, получаем. Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).
Полученный внешний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям. Пусть
. Тогда
. Следовательно,
![]()
Пример Вычислить интеграл
Решение. Будем рассматривать R как область типа II (элементарную относительно оси Ox). Схематически она изображена внизу на рисунке 9. При изменении координаты y от a до 2a, координата x принимает значения между x = y − a и x = y. Поэтому двойной интеграл равен, где область R представляет собой параллелограмм со сторонами
, a − некоторый параметр.
![]()
Рис.9 Пример . Вычислить интеграл
.
По первой формуле, полагая
, получим:
.
Тогда
![]()
Интегралы вида
вычисляют, используя формулы
.
Геометрические приложения криволинейных интегралов |