Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).

Решение. Область R показана выше на рисунке 8. Очевидно, уравнение стороны треугольника OC имеет вид y = x, а уравнение стороны BC равно y = 1. Рассматривая R как область типа I, получаем Полученный внешний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям. Пусть . Тогда . Следовательно,

Пример Вычислить интеграл , где область R представляет собой параллелограмм со сторонами , a − некоторый параметр.

Решение. Будем рассматривать R как область типа II (элементарную относительно оси Ox). Схематически она изображена внизу на рисунке 9. При изменении координаты y от a до 2a, координата x принимает значения между x = y − a и x = y. Поэтому двойной интеграл равен

Рис.9

Пример . Вычислить интеграл .

По первой формуле, полагая , получим:

.

^Тогда

Интегралы вида вычисляют, используя формулы .