Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Замена переменных в тройных интегралах Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Двойные интегралы в произвольной области

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций . При этом выполняются неравенства и для всех . Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле

Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси Ox) ограничена графиками функций при условии, что и для всех . Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

  Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

Геометрические приложения криволинейных интегралов