Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Замена переменных в тройных интегралах Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Определение и свойства тройных интегралов

Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда (рисунок 1).
Рис.1

Пусть множество чисел {x0, x1, ..., xm} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz: Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением имеет вид Здесь (ui , vj , wk) - некоторая точка в параллелепипеде (xi−1, xi)×(yi−1, yi)×(zi−1, zi), а приращения равны Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к нулю: Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед , включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде:

Скалярное и векторное поле. Определение и основные свойства градиента, дивергенции, ротора, потока и циркуляции векторного поля

Скалярное и векторное поле.

Определение.Скалярное поле на области (Курс лекций математического анализа) представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения при заданных значениях C.

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.

Векторное полена области (или ) – это вектор, координаты которого Курс лекций математического анализаявляются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле,поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезкаопределяется аналогично и для . Напоминаем: величинаотрезка представляет собой его длину со знаком "+", если векторы и одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу: , где - градиент скалярного поля в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к. - единичный вектор.


Геометрические приложения криволинейных интегралов