Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Замена переменных в тройных интегралах Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Примеры решения задач контрольной работы по теме Интегралы

Метод замены переменной

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку . Тогда или . С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:

Пример Найти интеграл .

Практикум по решению математических задач Вычислить двойной интеграл:  по области D, ограниченной линиями:

Решение. Перепишем интеграл в виде Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл

Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = -; x = x = -1; x = 1.

 

Найдем вторую производную функции

.

  Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

Геометрические приложения криволинейных интегралов